Интересные факты о теореме Пифагора: узнаем новое об известной теореме. Проект на тему: Пифагоровы штаны во все стороны равны

«Пифагоровы штаны – на все стороны равны.
Чтобы это доказать, надо снять и показать».

Этот стишок известен всем со средней школы, с тех самых пор, когда на уроке геометрии мы изучали знаменитую теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Хотя сам Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не носили. Кто же такой Пифагор?
Пифагор Самосский от лат. Pythagoras, пифийский вещатель (570-490 гг.до н.э.) – древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.
Среди противоречивых учений своих учителей Пифагор искал живой связи, синтеза единого великого целого. Он поставил себе цель - найти путь ведущий к свету истины, то есть познать жизнь в единстве. С этой целью Пифагор посетил весь древний мир. Он считал, что должен расширить и без того уже широкой кругозор, изучая все религии, доктрины и культы. Он жил среди раввинов и много узнал о тайных традициях Моисея, законодателя Израиля. Затем посетил Египет, где был посвящен в Мистерии Адониса, и, сумев пересечь долину Евфрата, он находился долго у халдеев, чтобы перенять их секретную мудрость. Пифагор посетил Азию и Африку, в том числе Индостан и Вавилон. В Вавилоне он изучил знания магов.
Заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. В основе вещей лежит Число, учил Пифагор, познать мир – значит познать управляющие им числа. Изучая числа, пифагорейцы разработали числовые отношения и нашли их во всех областях человеческой деятельности. Пифагор учил тайно и не оставил после себя письменных трудов. Пифагор придавал большое значение числу. Его философские взгляды в значительной мере обусловлены математическими представлениями. Он говорил: «Всё есть число», «все вещи суть числа», выделяя, таким образом, одну сторону в понимании мира, а именно, его измеряемость числовым выражением. Пифагор считал, что число владеет всеми вещами, в том числе и нравственными, и духовными качествами. Он учил (согласно Аристотелю): «Справедливость… есть число, помноженное само на себя». Он полагал, что в каждом предмете, помимо его изменчивых состояний, существует неизменное бытие, некая неизменная субстанция. Это и есть число. Отсюда основная идея пифагореизма: число – основа всего сущего. Пифагорейцы видели в числе и в математических отношениях объяснение скрытого смысла явлений, законов природы. По мнению Пифагора, объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного познания, так как числа имеют вневременную природу, т.е. вечны. Они – некая реальность, стоящая выше реальности вещей. Пифагор говорит, что все свойства предмета могут быть уничтожены, или могут измениться, кроме одного лишь числового свойства. Это свойство – Единица. Единица – это бытие вещей, неуничтожимая и неразложимая, неизменное. Раздробите любой предмет на мельчайшие частицы – каждая частица будет одна. Утверждая, что числовое бытие есть единственно неизменное бытие, Пифагор пришел к выводу, что все предметы есть суть копии чисел.
Единица есть абсолютное число Единица обладает вечностью. Единице не надо находиться ни в каком отношении к чему-либо иному. Она существует сама по себе. Два есть только отношение одного к одному. Все числа есть лишь
числовые отношения Единицы, её модификации. А все формы бытия есть лишь определённые стороны бесконечности, а значит и Единицы. Первоначальное Один заключает в себе все числа, следовательно, заключает в себе элементы всего мира. Предметы – это реальные проявления абстрактного бытия. Пифагор был первым, кто обозначил космос со всеми находящимися в нем вещами, как порядок, который устанавливается числом. Этот порядок доступен разуму, осознаётся им, что позволяет совершенно по-новому видеть мир.
Процесс познания мира, по Пифагору, есть процесс познания управляющих им чисел. Космос после Пифагора стал рассматриваться как упорядоченное числом мироздания.
Пифагор учил, что душа человека бессмертна. Ему принадлежит идея о переселении душ. Он считал, что всё происходящее в мире снова и снова повторяется через определённые периоды времени, а души умерших через какое-то время вселяются в других. Душа, как число представляет собой Единицу, т.е. душа совершенна по существу. Но всякое совершенство, поскольку оно приходит в движение, обращается в несовершенство, хотя и стремится обрести вновь свое прежнее совершенное состояние. Несовершенством Пифагор называл отклонение от Единицы; поэтому Два считалось проклятом числом. Душа в человеке пребывает в состоянии сравнительного несовершенства. Она состоит из трёх элементов: разум, ум, страсть. Но если умом и страстями обладают и животные, то разумом (рассудком) наделён только человек. Какая-либо из этих трёх сторон в человеке может возобладать, и тогда человек становится по преимуществу или разумным, или здравомыслящим, или же чувственным. Соответственно он оказывается или философом, или обыкновенным человеком, или животным.
Однако вернёмся к числам. Да действительно числа являются абстрактным проявлением основного философского закона Вселенной – Единства Противоположностей.
Примечание. Абстракция служит базой для процессов обобщения и образования понятий. Она – необходимое условие категоризации. Ею формируются обобщённые образы реальности, позволяющие выделить значимые для определённой деятельности связи и отношения объектов.
Единство Противоположностей Вселенной состоят из Формы и Содержания, Форма является количественной категорией, а Содержание качественной категорией. Естественно, что числа выражают в абстракции количественную и качественную категории. Отсюда сложение (вычитание) чисел это количественная составляющая абстракции Форм, а умножение (деление) – это качественная составляющая абстракции Содержания. Числа абстракции Форм и Содержания находятся в неразрывной связи Единства Противоположностей.
Попробуем произвести математические операции, над числами установив неразрывную связь Формы и Содержания.

Так рассмотрим числовой ряд.
1,2,3,4,5,6,7,8,9 . 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Далее 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 –(1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 –(1+4=5) = (4+5= 9) (9) …15 –(1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) (7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 – (1+9= 10) (1) -20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 –(2+1=3) (3) – 22- (2+2= 4) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) И т.д.
Отсюда мы наблюдаем циклическое преобразование Форм, которому соответствует цикл Содержания –1-й –цикл - 3-9-6 - 6-9-3 2-й цикл – 3-9- 6 -6-9-3 и т.д.
6
9 9
3

Циклы отображают выворот тора Вселенной, где Противоположностями чисел абстакции Форм и Содержания являются 3 и 6, где 3 определяет Сжатие, а 6 - Растяжение. Компромиссом для их взаимодействия является число 9.
Далее 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . 1х2=2 (3) 4х5=20 (2+0=2) (6) 7х8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9) и т.д.
Цикл выглядит так 2-(3)-2-(6)- 2- (9)… где 2 является составляющим элементом цикла 3-6-9.
Далее таблица умножения:
2х1=2
2х2=4
(2+4=6)
2х3=6
2х4=8
2х5=10
(8+1+0 = 9)
2х6=12
(1+2=3)
2х7=14
2х8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2х9=18
(1+8=9)
Цикл -6,6- 9- 3,3 – 9.
3х1=3
3х2=6
3х3=9
3х4=12 (1+2=3)
3х5=15 (1+5=6)
3х6=18 (1+8=9)
3х7=21 (2+1=3)
3х8=24 (2+4=6)
3х9=27 (2+7=9)
Цикл 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4х1=4
4х2=8 (4+8=12 1+2=3)
4х3=12 (1+2=3)
4х4=16
4х5=20 (1+6+2+0= 9)
4х6=24 (2+4=6)
4х7=28
4х8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4х9=36 (3+6=9)
Цикл 3,3 – 9 - 6,6 - 9.
5х1=5
5х2=10 (5+1+0=6)
5х3=15 (1+5=6)
5х4=20
5х5=25 (2+0+2+5=9)
5х6=30 (3+0=3)
5х7=35
5х8=40 (3+5+4+0= 12 1+2=3)
5х9=45 (4+5=9)
Цикл -6,6 – 9 - 3,3- 9.
6х1= 6
6х2=12 (1+2=3)
6х3=18 (1+8=9)
6х4=24 (2+4=6)
6х5=30 (3+0=3)
6х6=36 (3+6=9)
6х7=42 (4+2=6)
6х8=48 (4+8=12 1+2=3)
6х9=54 (5+4=9)
Цикл – 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7х1=7
7х2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7х3=21 (2+1=3)
7х4=28
7х5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7х6=42 (4+2=6)
7х7=49
7х8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7х9=63 (6+3=9)
Цикл – 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
8х1= 8
8х2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8х3=24 (2+4=6)
8х4=32
8х5=40 (3+2+4+0 =9)
8х6=48 (4+8=12 1+2=3)
8х7=56
8х8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8х9=72 (7+2=9)
Цикл -6,6 – 9 – 3,3 – 9.
9х1=9
9х2= 18 (1+8=9)
9х3= 27 (2+7=9)
9х4=36 (3+6=9)
9х5=45 (4+5= 9)
9х6=54 (5+4=9)
9х7=63 (6+3=9)
9х8=72 (7+2=9)
9х9=81 (8+1=9).
Цикл – 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Числа качественной категории Содержания – 3-6-9, указывают на ядро атома с разным количеством нейтронов, а количественной категории указывают на количество электронов атома. Химические элемент – это ядра, массы которых кратные 9, а кратные – 3 и 6 являются изотопами.
Примечание. Изотоп (от греч. «равный», «одинаковый» и «место») – разновидности атомов и ядер одного химического элемента с разным количеством нейтронов в ядре. Химический элемент – это совокупность атомов с одинаковыми зарядами ядра. Изотопы-разновидности атомов химического элемента с одинаковым зарядом ядра, но разным массовым числом.

Все действительные предметы состоят из атомов, а атомы определяются числами.
Поэтому естественно, что Пифагор был убеждён, что числа есть действительные предметы, а не простые символы. Число – это определённое состояние материальных предметов, сущность вещи. И в этом Пифагор был прав.

Жарг. шк. Шутл. Теорема Пифагора, устанавливающая соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника. БТС, 835 … Большой словарь русских поговорок

Пифагоровы штаны - Шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что построенные на сторонах прямоугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминают покрой штанов. Геометрию я любил… и на вступительном экзамене в университет получил даже от… … Фразеологический словарь русского литературного языка

пифагоровы штаны - Шутливое название теоремы Пифагора, устанавливающей соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника, что внешне на рисунках выглядит как покрой штанов … Словарь многих выражений

Иноск.: о человеке даровитом Ср. Это несомненности мудрец. В древности он наверное выдумал бы Пифагоровы штаны... Салтыков. Пестрые письма. Пифагоровы штаны (геом.): в прямоугольнике квадрат гипотенузы равняется квадратам катетов (учение… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона

Пифагоровы штаны на все стороны равны - Число пуговиц известно. Почему же хую тесно? (грубо) о штанах и мужском половом органе. Пифагоровы штаны на все стороны равны. Чтобы это доказать, надо снять и показать 1) о теореме Пифагора; 2) о широких штанах … Живая речь. Словарь разговорных выражений

Пиѳагоровы штаны (выдумать) иноск. о человѣкѣ даровитомъ. Ср. Это несомнѣнности мудрецъ. Въ древности онъ навѣрное выдумалъ бы пиѳагоровы штаны... Салтыковъ. Пестрыя письма. Пиѳагоровы штаны (геом.): въ прямоугольникѣ квадратъ гипотенузы… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона (оригинальная орфография)

Пифагоровы штаны во все стороны равны - Шутливое доказательство теоремы Пифагора; также в шутку о мешковатых брюках приятеля … Словарь народной фразеологии

Присл., груб …

ПИФАГОРОВЫ ШТАНЫ НА ВСЕ СТОРОНЫ РАВНЫ (ЧИСЛО ПУГОВИЦ ИЗВЕСТНО. ПОЧЕМУ ЖЕ ХУЮ ТЕСНО? / ЧТОБЫ ЭТО ДОКАЗАТЬ, НАДО СНЯТЬ И ПОКАЗАТЬ) - присл., груб … Толковый словарь современных разговорных фразеологизмов и присловий

Сущ., мн., употр. сравн. часто Морфология: мн. что? штаны, (нет) чего? штанов, чему? штанам, (вижу) что? штаны, чем? штанами, о чём? о штанах 1. Штаны это предмет одежды, который имеет две короткие или длинные штанины и закрывает нижнюю часть… … Толковый словарь Дмитриева

Книги

• Как открывали Землю , Сахарнов Святослав Владимирович. Как путешествовали финикийцы? На каких кораблях плавали викинги? Кто открыл Америку, а кто впервые совершил кругосветное плавание? Кто составил первый в мире атласАнтарктиды, а кто изобрёл…
• Чудеса на колёсах , Маркуша Анатолий. Миллионы колёс крутятся по всей земле - катят автомобили, отмеряют время в часах, постукивают под поездами, выполняют бесчисленное множество работ в станках и разнообразных механизмах. Они…

В одном можно быть уверенным на все сто процентов, что на вопрос, чему равен квадрат гипотенузы, любой взрослый человек смело ответит: «Сумме квадратов катетов». Эта теорема прочно засела в сознании каждого образованного человека, но достаточно лишь попросить кого-либо ее доказать, и тут могут возникнуть сложности. Поэтому давайте вспомним и рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.

Краткий обзор биографии

Теорема Пифагора знакома практически каждому, но почему-то биография человека, который произвел ее на свет, не так популярна. Это поправимо. Поэтому прежде чем изучить разные способы доказательства теоремы Пифагора, нужно кратко познакомиться с его личностью.

Пифагор - философ, математик, мыслитель родом из Сегодня очень сложно отличить его биографию от легенд, которые сложились в память об этом великом человеке. Но как следует из трудов его последователей, Пифагор Самосский родился на острове Самос. Его отец был обычный камнерез, а вот мать происходила из знатного рода.

Судя по легенде, появление на свет Пифагора предсказала женщина по имени Пифия, в чью честь и назвали мальчика. По ее предсказанию рожденный мальчик должен был принести много пользы и добра человечеству. Что вообще-то он и сделал.

Рождение теоремы

В юности Пифагор переехал с в Египет, чтобы встретиться там с известными египетскими мудрецами. После встречи с ними он был допущен к обучению, где и познал все великие достижения египетской философии, математики и медицины.

Вероятно, именно в Египте Пифагор вдохновился величеством и красотой пирамид и создал свою великую теорию. Это может шокировать читателей, но современные историки считают, что Пифагор не доказывал свою теорию. А лишь передал свое знание последователям, которые позже и завершили все необходимые математические вычисления.

Как бы там ни было, сегодня известна не одна методика доказательства данной теоремы, а сразу несколько. Сегодня остается лишь гадать, как именно древние греки производили свои вычисления, поэтому здесь рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора

Прежде чем начинать какие-либо вычисления, нужно выяснить, какую теорию предстоит доказать. Теорема Пифагора звучит так: «В треугольнике, у которого один из углов равен 90 о, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы».

Всего существует 15 разных способов доказательства теоремы Пифагора. Это достаточно большая цифра, поэтому уделим внимание самым популярным из них.

Способ первый

Сначала обозначим, что нам дано. Эти данные будут распространяться и на другие способы доказательств теоремы Пифагора, поэтому стоит сразу запомнить все имеющееся обозначения.

Допустим, дан прямоугольный треугольник, с катетами а, в и гипотенузой, равной с. Первый способ доказательства основывается на том, что из прямоугольного треугольника нужно дорисовать квадрат.

Чтобы это сделать, нужно к катету длиной а дорисовать отрезок равный катету в, и наоборот. Так должно получиться две равные стороны квадрата. Остается только нарисовать две параллельные прямые, и квадрат готов.

Внутри получившейся фигуры нужно начертить еще один квадрат со стороной равной гипотенузе исходного треугольника. Для этого от вершин ас и св нужно нарисовать два параллельных отрезка равных с. Таким образом, получиться три стороны квадрата, одна из которых и есть гипотенуза исходного прямоугольного треугольники. Остается лишь дочертить четвертый отрезок.

На основании получившегося рисунка можно сделать вывод, что площадь внешнего квадрата равна (а+в) 2 . Если заглянуть внутрь фигуры, можно увидеть, что помимо внутреннего квадрата в ней имеется четыре прямоугольных треугольника. Площадь каждого равна 0,5ав.

Поэтому площадь равна: 4*0,5ав+с 2 =2ав+с 2

Отсюда (а+в) 2 =2ав+с 2

И, следовательно, с 2 =а 2 +в 2

Теорема доказана.

Способ два: подобные треугольники

Данная формула доказательства теоремы Пифагора была выведена на основании утверждения из раздела геометрии о подобных треугольниках. Оно гласит, что катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное для его гипотенузы и отрезка гипотенузы, исходящего из вершины угла 90 о.

Исходные данные остаются те же, поэтому начнем сразу с доказательства. Проведем перпендикулярный стороне АВ отрезок СД. Основываясь на вышеописанном утверждении катеты треугольников равны:

АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.

Чтобы ответить на вопрос, как доказать теорему Пифагора, доказательство нужно проложить возведением в квадрат обоих неравенств.

АС 2 =АВ*АД и СВ 2 =АВ*ДВ

Теперь нужно сложить получившиеся неравенства.

АС 2 + СВ 2 =АВ*(АД*ДВ), где АД+ДВ=АВ

Получается, что:

АС 2 + СВ 2 =АВ*АВ

И, следовательно:

АС 2 + СВ 2 =АВ 2

Доказательство теоремы Пифагора и различные способы ее решения нуждаются в разностороннем подходе к данной задаче. Однако этот вариант является одним из простейших.

Еще одна методика расчетов

Описание разных способов доказательства теоремы Пифагора могут ни о чем не сказать, до тех самых пор пока самостоятельно не приступишь к практике. Многие методики предусматривают не только математические расчеты, но и построение из исходного треугольника новых фигур.

В данном случае необходимо от катета ВС достроить еще один прямоугольный треугольник ВСД. Таким образом, теперь имеется два треугольника с общим катетом ВС.

Зная, что площади подобных фигур имеют соотношение как квадраты их сходных линейных размеров, то:

S авс * с 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2

S авс *(с 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S всд)

с 2 -в 2 =а 2

с 2 =а 2 +в 2

Поскольку из разных способов доказательств теоремы Пифагора для 8 класса этот вариант едва ли подойдет, можно воспользоваться следующей методикой.

Самый простой способ доказать теорему Пифагора. Отзывы

Как полагают историки, этот способ был впервые использован для доказательства теоремы еще в древней Греции. Он является самым простым, так как не требует абсолютно никаких расчетов. Если правильно начертить рисунок, то доказательство утверждения, что а 2 +в 2 =с 2 , будет видно наглядно.

Условия для данного способа будет немного отличаться от предыдущего. Чтобы доказать теорему, предположим, что прямоугольный треугольник АВС - равнобедренный.

Гипотенузу АС принимаем за сторону квадрата и дочерчиваем три его стороны. Кроме этого необходимо провести две диагональные прямые в получившемся квадрате. Таким образом, чтобы внутри него получилось четыре равнобедренных треугольника.

К катетам АВ и СВ так же нужно дочертить по квадрату и провести по одной диагональной прямой в каждом из них. Первую прямую чертим из вершины А, вторую - из С.

Теперь нужно внимательно всмотреться в получившийся рисунок. Поскольку на гипотенузе АС лежит четыре треугольника, равные исходному, а на катетах по два, это говорит о правдивости данной теоремы.

Кстати, благодаря данной методике доказательства теоремы Пифагора и появилась на свет знаменитая фраза: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Доказательство Дж. Гарфилда

Джеймс Гарфилд - двадцатый президент Соединенных Штатов Америки. Кроме того, что он оставил свой след в истории как правитель США, он был еще и одаренным самоучкой.

В начале своей карьеры он был обычным преподавателем в народной школе, но вскоре стал директором одного из высших учебных заведений. Стремление к саморазвитию и позволило ему предложить новую теорию доказательства теоремы Пифагора. Теорема и пример ее решения выглядит следующим образом.

Сначала нужно начертить на листе бумаги два прямоугольных треугольника таким образом, чтобы катет одного из них был продолжением второго. Вершины этих треугольников нужно соединить, чтобы в конечном итоге получилась трапеция.

Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

S=а+в/2 * (а+в)

Если рассмотреть получившуюся трапецию, как фигуру, состоящую из трех треугольников, то ее площадь можно найти так:

S=ав/2 *2 + с 2 /2

Теперь необходимо уравнять два исходных выражения

2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2

с 2 =а 2 +в 2

О теореме Пифагора и способах ее доказательства можно написать не один том учебного пособия. Но есть ли в нем смысл, когда эти знания нельзя применить на практике?

Практическое применение теоремы Пифагора

К сожалению, в современных школьных программах предусмотрено использование данной теоремы только в геометрических задачах. Выпускники скоро покинут школьные стены, так и не узнав, а как они могут применить свои знания и умения на практике.

На самом же деле использовать теорему Пифагора в своей повседневной жизни может каждый. Причем не только в профессиональной деятельности, но и в обычных домашних делах. Рассмотрим несколько случаев, когда теорема Пифагора и способы ее доказательства могут оказаться крайне необходимыми.

Связь теоремы и астрономии

Казалось бы, как могут быть связаны звезды и треугольники на бумаге. На самом же деле астрономия - это научная сфера, в которой широко используется теорема Пифагора.

Например, рассмотрим движение светового луча в космосе. Известно, что свет движется в обе стороны с одинаковой скоростью. Траекторию АВ, которой движется луч света назовем l . А половину времени, которое необходимо свету, чтобы попасть из точки А в точку Б, назовем t . И скорость луча - c . Получается, что: c*t=l

Если посмотреть на этот самый луч из другой плоскости, например, из космического лайнера, который движется со скоростью v, то при таком наблюдении тел их скорость изменится. При этом даже неподвижные элементы станут двигаться со скоростью v в обратном направлении.

Допустим, комический лайнер плывет вправо. Тогда точки А и В, между которыми мечется луч, станут двигаться влево. Причем, когда луч движется от точки А в точку В, точка А успевает переместиться и, соответственно, свет уже прибудет в новую точку С. Чтобы найти половину расстояния, на которое сместилась точка А, нужно скорость лайнера умножить на половину времени путешествия луча (t").

А чтобы найти, какое расстояние за это время смог пройти луч света, нужно обозначить половину пути новой буковой s и получить следующее выражение:

Если представить, что точки света С и В, а также космический лайнер - это вершины равнобедренного треугольника, то отрезок от точки А до лайнера разделит его на два прямоугольных треугольника. Поэтому благодаря теореме Пифагора можно найти расстояние, которое смог пройти луч света.

Этот пример, конечно, не самый удачный, так как только единицам может посчастливиться опробовать его на практике. Поэтому рассмотрим более приземленные варианты применения этой теоремы.

Радиус передачи мобильного сигнала

Современную жизнь уже невозможно представить без существования смартфонов. Но много ли было бы от них прока, если бы они не могли соединять абонентов посредством мобильной связи?!

Качество мобильной связи напрямую зависит от того, на какой высоте находиться антенна мобильного оператора. Для того чтобы вычислить, каком расстоянии от мобильной вышки телефон может принимать сигнал, можно применить теорему Пифагора.

Допустим, нужно найти приблизительную высоту стационарной вышки, чтобы она могла распространять сигнал в радиусе 200 километров.

АВ (высота вышки) = х;

ВС (радиус передачи сигнала) = 200 км;

ОС (радиус земного шара) = 6380 км;

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Применив теорему Пифагора, выясним, что минимальная высота вышки должна составить 2,3 километра.

Теорема Пифагора в быту

Как ни странно, теорема Пифагора может оказаться полезной даже в бытовых делах, таких как определение высоты шкафа-купе, например. На первый взгляд, нет необходимости использовать такие сложные вычисления, ведь можно просто снять мерки с помощью рулетки. Но многие удивляются, почему в процессе сборки возникают определенные проблемы, если все мерки были сняты более чем точно.

Дело в том, что шкаф-купе собирается в горизонтальном положении и только потом поднимается и устанавливается к стене. Поэтому боковина шкафа в процессе подъема конструкции должна свободно проходить и по высоте, и по диагонали помещения.

Предположим, имеется шкаф-купе глубиной 800 мм. Расстояние от пола до потолка - 2600 мм. Опытный мебельщик скажет, что высота шкафа должна быть на 126 мм меньше, чем высота помещения. Но почему именно на 126 мм? Рассмотрим на примере.

При идеальных габаритах шкафа проверим действие теоремы Пифагора:

АС=√АВ 2 +√ВС 2

АС=√2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходится.

Допустим, высота шкафа равна не 2474 мм, а 2505 мм. Тогда:

АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.

Следовательно, этот шкаф не подойдет для установки в данном помещении. Так как при поднятии его в вертикальное положение можно нанести ущерб его корпусу.

Пожалуй, рассмотрев разные способы доказательства теоремы Пифагора разными учеными, можно сделать вывод, что она более чем правдива. Теперь можно использовать полученную информацию в своей повседневной жизни и быть полностью уверенным, что все расчеты будут не только полезны, но и верны.

Знаменитую теорему Пифагора  - «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»  - знают все со школьной скамьи.

Ну, вы помните «Пифагоровы штаны» , которые «во все стороны равны»  - схематический рисунок, поясняющий теорему греческого ученого.

Здесь a и b  - катеты, а с  - гипотенуза:

Сейчас я вам расскажу об одном оригинальном доказательстве этой теоремы, о котором вы, возможно, не знали…

Но, сначала рассмотрим одну лемму  - доказанное утверждение, которое полезно не само по себе, а для доказательства других утверждений (теорем).

Возьмем прямоугольный треугольник с вершинами X , Y и Z , где Z  - прямой угол и опустим перпендикуляр с прямого угла Z на гипотенузу. Здесь W  - точка, в которой высота пересекается с гипотенузой.

Эта линия (перпендикуляр) ZW разбивает треугольник на подобные копии самого себя.

Напомню, что подобными называются треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

В нашем примере образовавшиеся треугольники XWZ и YWZ подобны друг другу и также подобны исходному треугольнику XYZ .

Доказать это несложно.

Начнем с треугольника XWZ, обратите внимание, что ∠XWZ = 90, и поэтому ∠XZW = 180–90-∠X. Но 180–90-∠X - это именно то, что ∠Y, поэтому треугольник XWZ должен быть подобным (все углы равны) треугольнику XYZ. Такое же упражнение можно выполнить для треугольника YWZ.

Лемма доказана! В прямоугольном треугольнике высота (перпендикуляр), опущенная на гипотенузу, разбивает треугольник на два подобных, которые в свою очередь подобны исходному треугольнику.

Но, вернемся к нашим «Пифагоровым штанам»…

Опустим перпендикуляр на гипотенузу c . В результате у нас образовались два прямогульных треугольника внутри нашего прямоугольного треугольника. Обозначим эти треугольники (на картинке вверху зеленым цветом) буквами A и B , а исходный треугольник - буквой С .

Разумеется, площадь треугольника С равна сумме площадей треугольников A и B .

Т.е. А + B = С

Теперь разобьем фигуру вверху («Пифагоровы штаны») на три фигурки-домика:

Как мы уже знаем из леммы, треугольники A , B и C подобны друг другу, поэтому и образовавшиеся фигурки-домики также подобны и являются масштабированными версиями друг друга.

Это означает, что соотношение площадей A и a² , - это то же самое, что отношение площадей B и b², а также C и c² .

Таким образом, мы имеем A / a² = B / b² = C / c² .

Обозначим это соотношение площадей треугольника и квадрата в фигуре-домике буквой k .

Т.е. k  - это некий коэффициент, связывающий площадь треугольника (крыши домика) с площадью квадрата под ним:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Из этого следует, что площади треугольников можно выразить через площади квадратов под ними таким образом:
A = ka² , B = kb² , и C = kc²

Но, мы помним, что A+B = C , а значит, ka² + kb² = kc²

Или a² + b² = c²

А это и есть доказательство теоремы Пифагора !

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

МБОУ Бондарская СОШ Ученический проект на тему: «Пифагор и его теорема» Подготовил: Эктов Константин, ученик 7 А класса Руководитель: Долотова Надежда Ивановна, учитель математики 2015 г.

2 слайд

Описание слайда:

3 слайд

Описание слайда:

Аннотация. Геометрия – очень интересная наука. Она содержит множество не похожих друг на друга теорем, но порой так необходимых. Я очень заинтересовался теоремой Пифагора. К сожалению, одно из самых главных утверждений мы проходим лишь в восьмом классе. Я решил приоткрыть завесу тайны и исследовать теорему Пифагора.

4 слайд

Описание слайда:

5 слайд

Описание слайда:

6 слайд

Описание слайда:

Задачи Изучить биографию Пифагора. Исследовать историю возникновения и доказательства теоремы. Выяснить, как теорема используется в искусстве. Найти исторические задачи, в решении которых применяется теорема Пифагора. Познакомиться с отношением детей разных времен к данной теореме. Создать проект.

7 слайд

Описание слайда:

Ход исследования Биография Пифагора. Заповеди и афоризмы Пифагора. Теорема Пифагора. История теоремы. Почему «пифагоровы штаны во все стороны равны»? Различные доказательства теоремы Пифагора другими учеными. Применение теоремы Пифагора. Опрос. Вывод.

8 слайд

Описание слайда:

Пифагор – кто же он такой? Пифагор Самосский (580 - 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист. Родился на острове Самос. Получил хорошее образование. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Предания приписывают Пифагору посещение и Индии. Это очень вероятно, так как Иония и Индия тогда имели торговые связи. Возвратившись на родину (ок. 530 г. до н. э.), Пифагор попытался организовать свою философскую школу. Однако по неизвестным причинам он вскоре оставляет Самос и селится в Кротоне (греческой колонии на севере Италии). Здесь Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством. Статус пифагорейского союза был очень суровым. По своим философским взглядам Пифагор был идеалистом, защитником интересов рабовладельческой аристократии. Возможно, в этом и заключалась причина его отъезда из Самоса, так как в Ионии очень большое влияние имели сторонники демократических взглядов. В общественных вопросах под "порядком" пифагорейцы понимали господство аристократов. Древнегреческую демократию они осуждали. Пифагорейская философия была примитивной попыткой обосновать господство рабовладельческой аристократии. В конце V в. до н. э. в Греции и ее колониях прокатилась волна демократического движения. Победила демократия в Кротоне. Пифагор вместе с учениками оставляет Кротон и уезжает в Тарент, а затем в Метапонт. Прибытие пифагорейцев в Метапонт совпало со вспышкой там народного восстания. В одной из ночных стычек погиб почти девяностолетний Пифагор. Его школа прекратила свое существование. Ученики Пифагора, спасаясь от преследований, расселились по всей Греции и ее колониям. Добывая себе средства к существованию, они организовывали школы, в которых преподавали главным образом арифметику и геометрию. Сведения об их достижениях содержатся в сочинениях позднейших учёных - Платона, Аристотеля и др.

9 слайд

Описание слайда:

Заповеди и афоризмы Пифагора Мысль - превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь). По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом. Истинное отечество там, где есть благие нравы. Не будь членом учёного общества: самые мудрые, составляя общество, делаются простолюдинами. Почитай священными числа, вес и меру, как чад изящного равенства. Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова. Ничему не удивляйся: удивление произвело богов.

10 слайд

Описание слайда:

Формулировка теоремы. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

11 слайд

Описание слайда:

Доказательства теоремы. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Разумеется, все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства.

12 слайд

Описание слайда:

Теорема Пифагора Доказательство Дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Докажем, что c² = a² + b² Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь S этого квадрата равна (a + b)². С другой стороны, квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, S каждого из которых равна ½ a b, и квадрата со стороной c. S = 4 · ½ a b + c² = 2 a b + c² Таким образом, (a + b)² = 2 a b + c², откуда c² = a² + b² c c c c с а b

13 слайд

Описание слайда:

История теоремы Пифагора Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, а по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста, но наиболее популярна теорема с построением квадрата с помощью данного прямоугольного треугольника.

14 слайд

Описание слайда:

Теорема в Древнем Китае "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

15 слайд

Описание слайда:

Теорема в Древнем Египте Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета(согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

16 слайд

Описание слайда:

О теореме в Вавилонии «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

17 слайд

Описание слайда:

Почему «пифагоровы штаны во все стороны равны»? В течение двух тысячелетий наиболее распространенным доказательством теоремы Пифагора было придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала». Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

18 слайд

Описание слайда:

Отношение детей древности к Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

19 слайд

Описание слайда:

Доказательства теоремы Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.

20 слайд

Описание слайда:

« Стул невесты » На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты".

21 слайд

Описание слайда:

Применение теоремы Пифагора В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

22 слайд

Описание слайда:

Применение теоремы в строительстве В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

23 слайд

Описание слайда:

24 слайд

Описание слайда:

Исторические задачи Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?